Operandami algorytmów arytmetyki komputerowej są kody reprezentujące liczby. Do reprezentacji ułamków stusuje się reprezentację stało- lub zmiennoprzecinkową. Zbiór reprezentowanych wartości jest zbiorem dyskretnym i skończonych, charakteryzuje się prezycją wyników operacji na liczbach, rozdzielczością i zakresem liczb.

Reprezentacja zmiennoprzecinkowaEdit

Liczba zmiennoprzecinkowa reprezentowana jest jako trójka MBE (B oznacza od tej pory betę), gdzie M jest znacznikiem (significand, dawniej mantysa - mantissa), B - bazą reprezentacji (radix), E wykładnikiem (exponent). Liczba w takiej reprezentacji to:

 F = MBE

W celu reprezentowania liczb dodatnij i ujemnych stosuje się reprezentację znaku przy pomocy bitu. Od 1985 roku istnieje standard opisu liczb zmiennoprzecinkowych IEEE754 (wznowiony i uzupełniony w postaci IEE854 w 1987). Standard te przewiduje istnienie liczb zmiennoprzecinkowych reprezentowanych przez 32 bitową (pojedynczej precyzji):

 3      22      11      00      0
 1      43      65      87      0
 SEEEEEEEEMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM

Bazą w reprezentacji dwójkowej jest 2, zatem liczbę można reprezentowac jako:

 F = S M 2E

Mantysa reprezentowana jest w przypadku liczb znormalizowanych jako wartość z ukrytą jedynką, znaczy to, że 11 i szereg 0 w mantysie to 1,1100000000₂ czyli 1,75₁₀.

Arytmetyka zmienno- i stałoprzecinkowaEdit

W przypadku arytmetyki stałoprzecinkowej prawdziwe są wszystkie twierdzenia stosowane w systemie uzupełnieniowym (przemienność dodawania, dodawania względem mnożenia, itd.). Dodawanie i odejmowanie nie wymaga korekcji (może wystąpić przepełnienie). Mnożenie wymaga skalowania. Jeśli obie liczby mają 4 bity po przecinku - wynik będzie posiadał 8 bitów po przecinku, zatem:

      0010,0010
     x0001,1101
     ----------
       00100010
     00100010
    00100010
   00100010
 --------------
   001111011010
 czyli:
  0011,11011010
 czyli:
  0011,1101

W przypadku arytmetyki zmiennoprzecinkowej dodawanie i odejmowanie liczb wymaga dostosowania wykładnika mniejszego do większego i obarczone jest błędem w przypadku różnicy wykładników. Wzór (dla dodawania - zamienić na +):

 x1 - x2 = (M1 - M2BE2-E1)BE1

Jedna z mantys musi zostać zdenormalizowana, jeśli wykładniki się różnią.

Mnożenie: x₁ x₂ = (M₁ M₂)B^E₁+E₂

Dzielenie: x₁ / x₂ = (M₁ / M₂)B^E₁-E₂

Źródła informacjiEdit

• Biernat J. Arytmetyka komputerów, Warszawa, PWN 1996, str. 8
• Biernat J. Metody i układy arytmetyki komputerowej, Wrocław, Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej 2001

Pizdencja